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  摘 要:文章首先陈述了高考“解三角形”考试大纲的要求和考查的知识点,然后分析了学生学习过程中存在的问题,最后对典型例题进行了思路解析,以期提升学生解题能力。
  关键词:解三角形;考试大纲;问题;典型例题
  数学《必修5》第一章是“解三角形”,它是高中数学的基础,也是近年高考的必考題型。解三角形主要是应用正、余弦定理对任意三角形的边角关系、周长、面积等数学量化的研究。这不仅与平面几何、三角恒等变换等知识密切相关,而且有较强的实用性和丰富的实际背景。下面具体通过实例重点说明几类热点题型,并对其题型解题方法进行总结、拓展和优化。
  一、 考试大纲要求
  (1)掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。
  (2)能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
  二、 高考对解三角形的考查
  考查利用正余弦定理、主要三角公式、基本不等式等知识,通过化简和方程思想等,经过运算、推理、度量边、角或周长、面积和其他伴随要素。解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题,即方程问题。故解三角形问题的核心是方程思想。
  说明:(1)“主要三角公式”是指两角和与差的三角公式,也包括二倍角公式、同角三角公式和诱导公式。(2)“方程”是指正、余弦定理、三角形内角和定理以及面积、周长等所内蕴的方程。
  主要考查题型:
  类型1 三角形完全可解,研究边、角、面积或周长;
  类型2 三角形局部可解,研究边、角的范围、面积或周长的最值;
  类型3 解三角形应用问题。
  三、 学生学习过程中存在的问题
  (1)利用正、余弦定理解已知三角形的两边及其一边的角解三角形问题时,不会判断一解、两解或无解问题,三角形形状和解的对应关系如表1所示。
  表1 三角形形状和解的对应关系
  A为锐角A为钝角
  图形
  关系a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b
  解的个数无解一解两解一解一解无解
  (2)三角形形状判断问题。利用已知条件中的边角关系判断三角形形状时,对边化角还是角化边的选择存在困惑。
  说明:(a)要牢记正、余弦定理及其变形形式,通过正、余弦定理及其变形形式实施转化,具体转化关系式如以下公式所示:
  b2=a2+c2-2accosB
  cosB=a2+c2-b22ac
  asinA=bsinB=csinC=2R
  a=2RsinA sinA=a2R
  (b)通过三角变换寻求角之间的关系;
  (c)通过三角函数符号及正、余弦函数有界性进行判断或讨论。
  四、 典型例题分析
  热点题型一:三角形完全可解,研究边、角、面积和周长问题
  【例1】 (2016年全国一卷)△ABC三角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c。
  (1)求C;
  (2)若c=7,△ABC的面积为332,求三角形的周长。
  分析:
  (1)思路1:边角转化,边化角。(利用正弦定理的变形形式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,和差公式及内角和定理等恒等变形)
  ∵2cosC(acosB+bcosA)=c,
  ∴2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
  ∴2cosCsin(A+B)=sinC。
  又∵sin(A+B)=sinC≠0,
  ∴cosC=12。
  ∵C∈(0,π),∴C=π3。
  思路2:充分利用教材《必修5》P18练习结论:c=acosB+bcosA,b=acosC+ccosA,a=ccosB+bcosC。
  ∵2cosC(acosB+bcosA)=c,
  ∴2ccosC=c,∴cosC=12。
  ∵C∈(0,π),∴C=π3。
  说明:1. 在三角形中,C∈(0,π)谁都知道,但在解答题时,,一定要说明,否则答题不完整,会扣1至2分;
  2. 利用教材中的一些结论可快速解决有些问题,特别是选择填空题,能起到事半功倍的效果。
  (2)思路1:方程思想,先面积公式后余弦定理
  由S△=12absinC=332得:ab=6,cosC=a2+b2-c22ab=12,
  所以a2+b2=13,结果显然。
  思路2:方程思想,先余弦定理后面积公式
  ∵cosC=a2+b2-c22ab=12,∴a2+b2=7+ab。
  由S△=12absinC=332得,ab=6。
  另外,我们也可以对例1的问题(2)进行改编,如:
  变式1:若c=7,求a+b的范围;
  变式2:若c=7,求△ABC的面积最大值;
  变式3:(太原2016模拟)△ABC三角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知3a=2csinA。
  (1)求C;
  (2)若c=7,△ABC的面积为332,求三角形的周长。
  回过头我们再看看利用教材《必修5》P18练习结论“妙杀”高考题。
  1. (2013年陕西7)△ABC三角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状是(  )

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