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“设而不求”解题技巧在初中数学解题中的应用

发布时间:2021-01-03 人气:

  摘 要:在初中数学教学中,“先设后求”是较常使用的解题思路。但有时候按照先设后求的解题思路会使得题目解题过程变得复杂起来。因此,初中数学教师需要引导学生另辟蹊径,运用“设而不求”的解题思路与方法简化解题的步骤,准确求解题目。所以,文章将从“分数比大小”“几何问题代数化”“方程代数求解”三个角度谈一谈“设而不求”解题技巧在初中数学解题中的应用。
  关键词:设而不求;分数;几何;解方程
  一、 分数比大小时“设而不求”
  解题技巧需要教师在教学的过程中帮助学生不断归纳、提炼,促使他们能够在学习的过程中掌握解题技巧,提升一定的解题能力。在复杂分数比大小的问题中,学生往往会运用正向思维,求解每个分数的大小,从而实现解答问题的目的。这样不仅会消耗学生大量的计算时间,还有计算出错的可能。因此,教师必须引导学生在题目中探究解题的技巧,运用“设而不求”的解题方法对复杂的分数进行比较。
  【例1】 比较368972764797与368975764804的大小。
  解析:在这类复杂分数比大小问题的求解中,两个分数的分子及分母相差不大,如果运用“先设后求”的解题思路,就会使得整个计算过程变得十分复杂。因此,教师需要引导学生运用“设而不求”的解题技巧,先将其中一个分数的分子与分母设为a与b,自然另一个分数就会变为a+常量b+常量的形式,这不仅简化了复杂的分数,还建立了两个分数之间的关系,从而为比较分数之间的大小提供了实质性的突破。在本例题的求解中,首先应当将分数368972764797设为ab,因此368975764804=a+3b+7。通过计算可以得到:ab-(a+3)(b+7)=7a-3bb(b+7)。又因为7a-3b>0,b(b+7)>0。所以7a-3bb(b+7)>0,即ab-(a+3)(b+7)>0。因此可以得到结果:368972764797>368975764804。通过对例1的解析,能够发现设而不求的解题技巧形成于特殊的解法中,如果运用一般常用的解题方法无法将问题的答案求解得出时,教师就可以引导学生想一想是否有特殊的解答方法能够求解题目。这样不仅能够帮助学生培养发散的解题思维,还能够帮助学生养成运用解题技巧解题的能力。
  二、 几何问题代数化时“设而不求”
  几何问题代数化的意思就是将几何问题通过转换的方式转为代数问题。其实质就是将证明题目变成计算题目进行求解。在一些复杂的几何证明题中,如果仅仅依靠点、线、面之间的关系很有可能会使证明过程变得烦琐复杂。因此,初中数学教师需要将“设而不求”的解题思路运用到几何问题的求解中,促使学生能够知晓其解题原理,并学习掌握其运用方法。
  【例2】 假如在一条直线上依次存在四个点:A、B、C、D(如图1所示)。请证明A、B、C、D之间存在关系:AD·BC+AB·CD=AC·BD。
  解析:在该几何问题中,并没有说明A、B、C、D之间的关系,也没有说明线段与线段之间的关系。因此,如果学生依旧使用几何证明的方法对该关系式进行证明,就会无从下手。因此,教师需要培养学生“设而不求”的解题思想,将几何问题转化为代数问题,如:先设线段AB=a,BC=b,CD=c。因此,点与点之间的关系可以为:AD=a+b+c,AC=a+b,BD=b+c。所以,可以对AD·BC+AB·CD可以进行算式计算,得到:AD·BC+AB·CD=(a+b+c)·b+a·c=ab+b2+bc+ac=b(a+b)+c(a+b)。又因为AC·BD=(a+b)·(b+c)=ab+ac+b2+bc=b(a+b)+c(a+b),所以AD·BC+AB·CD=AC·BD得证。
  【例3】 直角三角形斜边上的中线长为1,周长为6,求该三角形的面积?
  解析:因为斜边上的中线长为1,由直角三角形斜边等于斜边中线的2倍这一定理,可以知道所求直角三角形的斜边为2,又因为所求直角三角形的周长为6,所以两个直角边的和为周长减去斜边的长。设直角三角形的两条直角边的边长分别为a,b,则有a+b=4,a2+b2=4,联立两方程式:前者平方后减去后者,可以得到2ab=12,ab=6。再根据直角三角形的面积公式:S=12ab=12×6=3,可以求出所求直角三角形面积:3。学生在解决该类数学题型时,教师需要让学生重视题目中两直角边之间的联系,理清楚a+b,,a2+b以及ab之间的关系,掌握它们之间的联系规则,学生不必求出直角边的实际值,利用“设而不求”的方式利于学生更好地掌握这一类题型的解题方式,提高解题效率。
  通过例2,例3的解析可以明确在一些复杂的几何证明题中,可以运用设而不求的解题方法为几何与代数之间搭建桥梁,从而降低问题的思考坡度,使得计算成立从而证明关系成立。因此,在日常教学中,教师应当让学生通过反复练习巩固“设而不求”解题技巧的运用。
  三、 方程或代数求解时“设而不求”
  方程和代数式都是初中数学教学中占比较大的内容,也是中考的重要考点。方程求解一般是相对简单的题型,但是也有一些较为特殊的方程需要采用特殊的方法才能够解决。同样的,代数式求值中包括整式、分式与根式,在一般情况下只需要按照代数式的运算法则对其进行直接运算即可。但是,在特殊情况下,也需要运用“设而不求”的方式进行求解。
  【例4】 请试着求解方程x-12+x+23=2x-1+3x+2。
  解析:如果采用常规的方法,对方程进行去分母、去括号、移项、合并、化系数为1等过程,不仅需要进行大量的计算,还有可能在某一步骤的计算时出现差错。所以,需要将这一具有特殊性的题目特殊化,运用设而不求的方法对进行求解:设x-12=a,x+23=b,即原方程=a+b=1a+1b。接着,再进行去分母得:a2b+ab2=a+b,移项因式分解可以得到:(a+b)(ab-1)=0,a+b=0,ab=1。即x-12+x+23=0,x-12·x+23=1。通过设而不求的方法,将方程化繁为简从而将最终答案计算得出:x1=-15,x2=-1+332,x3=-1+332。
  【例5】 已知a3=b5=c7,试着求解代数式3a-2b3c+2a的值。
  解析:例4的求解中,运用常规转化的方法也能起到解决问题的目的,但是其过程较为烦琐复杂,并且,极其容易在计算的过程中出错。因此,可以采用设而不求的方法达到化繁为简的目的,使得题目能够轻松解决。在本题的求解中,首先需要将已知的条件等于一个参数,即a3=b5=c7=k,接着,在对其进行变形可得:a=3k,b=5k,c=7k,將这三部分分别代入代数式即可得到答案:3·3k-2·5k3·7k+2·3k=-k27k=127。
  综上所述,在解题技巧的探索过程中,初中数学教师不应当一味追求学生将问题的正确答案求解出来。而是要让学生在反复的题型练习的过程中,找到解题的方法,促使学生能够在下一次遇见相同题型时,快速找到解题的思路并运用相应的解题技巧进行解答。因此,在“分数比大小”“几何问题代数化”“解方程换元”等题型中,教师必须深入贯彻“设而不求”解题技巧的运用,帮助学生形成发散思维。
  参考文献:
  [1]丁荣军.“设而不求”在初中数学解题中的运用探析[J].理科考试研究:初中版,2016,23(11):48.
  [2]贺智峰.“设而不求”解题技巧在初中数学中的应用[J].新教育时代电子杂志:教师版,2014(10):253.
  [3]田珍娥.设而不求思想在初中数学解题中的应用[J].课外阅读:中,2013(3):248.
  作者简介:
  曹志芳,广东省深圳市,广东省深圳市宝安区福永中学。

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