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立足数学课本 根在核心素养

发布时间:2021-01-03 人气:

  摘 要:高中数学课堂教学应以数学核心素养为导向,立足于课本教材,充分挖掘课本例题、习题资源,培养学生的数学思维能力。注重逻辑推理,有较强的复杂运算能力,发散思维,以期面对新的高考、新的学习。
  关键词:数学课本;核心素养;高考
  高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质。在学习了等差数列、等比数列的基本知识之后,再次翻开课本前面的内容,充分利用课本资源,适度拓展和延伸,激发学生的学习兴趣。文章先从一道课本例题谈起。
  一、 课本例题
  【例1】 (课本例3,文[2]第31页):设数列{an}满足a1=1,an=1+1an-1(n>1)。
  写出这个数列的前5项。
  显然,按照递推公式,这里求解是机械的、容易的。已经学过的等差数列、等比数列的通项公式都可以看作是递推公式,那么例1有没有通项公式?如果有,怎样求解?
  二、 不动点
  (一)不动点的概念
  设函数f(x),若f(α)=α,则称α是f(x)的不动点。
  在数列{an}中,若an=f(αn-1)(n>1),α是f(x)的不动点,则称α是{an}的不动点。
  (二)不动点与数列通项
  关于函数不动点与数列通项公式之间的关联,,通过简单的数学变换即可推证。与例1相关的结论表述如下:
  设函数f(x)=ax+bx+c(a,b,c∈R,ac-b≠0)。数列{an},若a1≠f(α1),an=f(αn-1)(n>1),那么:
  (1)若f(x)有两个不同的不动点α,β,则有
  an+1-αan+1-β=k·an-αan-β,
  其中k=a-αa-β ①
  (2)若f(x)有唯一一个不动点α,则有
  1an+1-α=1an-α+k,
  其中k=2a+c ②
  (3)若f(x)没有不动点,则数列{an}具有某种周期性。
  实际上,上述结论的得到是容易的,可以引导学生示意性的推导,以期提高他们的运算推理能力,培养他们的探索创新能力。其他各种形式的不动点与数列通项公式的关联,无非就是an+1-α与an-α(α为不动点)的各种组合、变形,以期得到熟悉的等差、等比数列,进而求得其通项公式。
  其实,(3)若f(x)没有不动点,那它必有两个不同的复数根,这样完全可以归结为(1)。甚至(1)中也可以只选一个不动点,变形处理即可。
  三、 例1的通项公式
  考虑f(x)=1+1x=x+1x,由f(x)=x得f(x)有两个不同的不动点α=1-52,β=1+52,又a1≠f(α1),an=f(αn-1)(n>1)。
  (一)用两个不动点
  比照①式,
  k=1-1-521-1+52=-3+52,
  从而
  an+1-1-52an+1-1+52=-3+52·an-1-52an-1+52,
  这是一个新的等比数列,其中首项a1-1-52a1-1+52=1-1-521-1+52=-3+52,
  于是
  an-1-52an-1+52=-3+52·(-3+52)n-1,
  解之
  an=12·(1-5)n+1-(1+5)n+1(1-5)n-(1+5)n ③
  (二)用一個不动点
  现在选用一个不动点,作差处理。取α=1-52,
  由an+1-1-52=an+1an-1-52=1+52·an-1-52an,
  取倒数
  1an+1-1-52=an1+52·an-1-52=5-32·1an-1-52+5-12。
  这里涉及另一种类型的不动点,即f(x)=dx+e(d≠0,1),f(x)有不动点δ,则对应数列{bn}(bn=f(bn-1)(n>1)),有bn+1-δ=d(bn-δ),从而出现一个新的等比数列。
  我们接着处理例1,有
  1an+1-1-52-55=5-32·1an-1-52-55。
  这里构造了一个新的等比数列,类似于3.1后半段,可以解出
  an=1-52+5·22n22n+(-1)n-1·(1-5)2n ④
  四、 例1的变式
  【例2】 设数列{an}满足a1=2,an=2-1an-1(n>1)。
  求数列{an}的通项公式。
  考虑f(x)=2-1x=x,得数列{an}有唯一一个不动点1,比照②式即可求出an=1+1n。
  【例3】 (课本习题2.1A组4(2),文[2]第33页):写出数列{an}的前5项:a1=-14,an=1-1an-1(n>1)。
  这个数列没有不动点(方程f(x)=1-1x=x无实数根),事实上由简单计算,a1=a4=-14,它具有周期性。
  为了激发学生的兴趣,拓展学生的视野,可以对例1继续变式:写出数列{an}的前5项:a1=1,an=3an-1-7an-1-3(n>1)。易见数列{an}有两个不同的不动点,故可比照①式写出它的通项公式;很明显它还具有周期性(a1=a3=1)。
  五、 教学启示
  (一)用好课本,注重通解通法
  用不动点处理数列的通项公式,课本中虽未提及,但它具有通解通法性,而且学生完全可以套搬套用。适当运用不动点,可以避免解题的盲目性、增强解题的方向感。有利于激发学生学习数学的兴趣,提高教师教学的实效性。技高不压人,常常会有意外的惊喜。

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