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从研究习题入手探究初中数学课堂教学的有效性

发布时间:2020-06-23 人气:

作者:王伟
  摘 要:如何提高初中数学课堂教学的有效性,是摆在数学教育工作者的一个长期并要始终探索的问题,方法方式多样,因人而异,但今天笔者想探讨的一个问题,是从研究习题入手,通过课本习题的研究,并通过变式、拓展以期达到举一反三,触类旁通,对初中学生的数学课堂有效学习起到一定的帮助。
  关键词:变式;拓展;研究;初中数学
  笔者想举两个例子,通过例题的反复研究,揣摩,分析题目的出题意图,进一步通过有效的变式,并拓展得到相关结论。这样从例题变式的视角展开教学活动,正确处理例题的变式、拓展与课堂教学的关系,才能让教师的教与学生的学产生质的飞跃。例题变式教学已经成为初中数学课堂教学改革的一个风向标,进而提高初中学生课堂的效率。
  这是本校周练的一个习题:例题1:已知:如图1,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线相交于点P。求证:四边形CODP是菱形。
  解析:因为四边形ABCD的矩形,所以OD=OC。因为OD∥CP,PD∥OC,所以四边形OCPD是平行四边形,因为OD=OC,所以四边形OCPD为菱形。
  点拨与提升:解答时,要牢牢把握三个重要因素,一是起点四边形的形状与性质特点:二是把已知与结论建立起来的条件,三是结论四边形的判定方法。解答时,要立足结论,合理选择,科学梳理,规范推理,最终实现目标。
  解答完毕,静心思忖,若是将已知与结论对换,成立吗?于是得到一种新思考。具体如下:
  变式1:已知:如图2,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线相交于点P。求证:四边形OCPD是矩形。
  分析:菱形的对角线互相垂直为矩形的证明提供了直角。
  提升:解答时,基本思路是平行线构筑四边形是平行四边形;菱形的对角线互相垂直,为结论提供直角,实现目标。
  若是将基础四边形更改为正方形会有什么结论产生呢:于是得到第二个变式。
  变式2:已知:如图3,在正方形ABCD中,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线相交于点P。求证:四边形OCPD是正方形。
  分析:正方形的对角线互相垂直,平分且相等是证明结论的根本依据。
  点拨与提升:解答时,基本思路是平行线构筑四边形是平行四边形;正方形的对角线互相垂直,升级四边形为矩形,利用正方形的对角线相等,平分,最终实现目标。
  刚才从基础四边形的更换中生成了两种不同问题的变式,锻炼了自身的创新思维,当图形一定时,两个图形之间还有其他的联系吗?如何建立起联系?有怎样的联系呢?带着这诸多疑问,一起走进问题的拓展思考,继续探究。
  拓展一:两个图形的周长之间的关系
  拓展1:已知:如图1,在矩形ABCD中,在正方形ABCD中,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线相交于点P。则四边形OCPD的周长是AC+BD。
  拓展2:已知:如图2,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线相交于点P。则四边形OCPD的周长是AC+BD。
  拓展3:已知:如图3,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线相交于点P,则四边形OCPD的周长是AC+BD。
  拓展二:两个图形的面积之间的关系
  拓展1:已知:如图1,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线相交于点P。设四边形OCPD的面积为S1,矩形ABCD的面积为S2,则S1∶S2=1∶2。
  拓展2:已知:如图2,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线,,过点D作AC的平行线,两线相交于点P。设四边形OCPD的面积为S1,菱形ABCD的面积为S2,求证S1∶S2=1∶2。
  拓展3:已知:如图3,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线相交于点P。设四边形OCPD的面积为S1,正方形ABCD的面积为S2,求证S1∶S2=1∶2。
  點评:此题可得到如下结论:
  已知:矩形或菱形或正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线相交于点P。则四边形OCPD的面积是四边形ABCD的面积的一半。
  第2题是本校“2019届初三最后一试”的一个例题:例2:如图抛物线y=ax2-x-4(a>0)与直线y=-2x+2交于A,B两点,点P为抛物线上一动点,且位于直线AB的下方,PQ平行于y轴,交AB于Q,AM⊥PQ于点M,BN⊥PQ于点N,且PQ=AM·BN。若点P的横坐标为t,当△APB面积最大时,求t的值,并求出这个最大面积。
  思路:
  01常规方法:题目给两个函数,其中二次函数开口向上,且过定点(0,-4);而一次函数是确定的函数,从条件出发无论是从形还是判别式都可以判定它们一定有两个交点,且推得这两个交点之间的距离由参数a决定,而P为抛物线上的一个点,两个函数之间的关系可以用这个P点建立联系。从而明白题意中若没有对点P坐标加以设置,也应该明白在解决过程中有必要引入点P的坐标来表示其他关系。这应是本题入题的思路。接下来则思考如何将线段、面积用坐标表示出来,实现形的问题用数来处理。再由题意告知的面积的最大值,自然转化为函数的最值问题处理。由于本题中△APB是不规则的三角形,在坐标系中我们经常“改邪归正”,将一个斜三角形分解成两个直三角形。另外本题涉及字母的运算,在解题过程中学会整体替换或应用根与系数的关系使计算量得到有效的缩减。
  02构造法:通过对条件PQ=AM·BN的利用和计算后发现二次函数的二次项系数a=1,抛物线与直线皆为定函数,求出其交点,而三角形一边固定,只要找出固定范围中二次函数上与AB距离最大的点,即可求出最大值,利用直线平移构造出新直线与抛物线“相切”时,找到这个点,从而知道t的值,再把相关点的坐标求出来,化动为静,使问题得以解决。
  注:对于最值问题:如面积最值,线段最值等都是通过对关键点位置坐标的设定,引入主动量后,将形的最值问题转化为数(函数的最值)的问题来解决。解决的路径如下:①根据已知条件求出对应的待定系数的值或代数式;②关注变量的取值范围及对应函数的增减性;③利用配方法或顶点式的求法求出函数的最值。
  总评:从上述两道例题及其变式题、拓展题中得出:无论是图形变化还是题目条件的改变或是改变参数,几何方面要关注基本图形及其基本图形结论。善于从复杂图形中找出基本图形,找出解题思路;代数方面:研究函数与研究几何一样,通过观察图像特点,发现图像可能运动的途径是发现它们特性的一般思路。而图像运动的途径由函数的参数决定,故而关注参数是解决函数问题的首要策略。关注参数后,想办法消参或求出参数的范围。
  因此通过上面两个例题,可以看出,初中数学课堂在习题教学上的研究至关重要。它是数学教学的重要组成部分。在习题教学中可通过改变题目的条件,改变题目的背景,探究题目的一般结论,类比探究同类问题等形式,引导学生对习题进行多角度的探索。课本习题往往蕴含着丰富的内涵,教师应充分运用习题的各种变式与拓展,培养学生的探索精神和创新能力,从而提高数学课堂的效率。并且要关注学法,让学生理解一些结论的获得过程,并学会正迁移,如根系关系就是求根公式的灵活运用。让学生掌握算理的同时,明确运算的方向,从而培养学生运算求解的能力,并会举一反三、触类旁通。
  作者简介:
  王伟,福建省泉州市,福建省惠安第一中学。

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