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配方法求解一元二次方程的教学探讨

发布时间:2020-06-20 人气:

作者:林淑慧 宾红华
  摘 要:《义务教育数学课程标准(2017版)》中明确提出了六大數学核心,其中包括:数学抽象、直观想象、运算能力、逻辑推理、数学建模、数据分析。其中运算能力指的是“能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力”,运算能力在高中数学中具有基础性作用,我们必须重视学生的运算能力的培养,本文以“用配方法求解一元二次方程”一课教学为例,旨在渗透数学核心素养,重点培养学生的运算能力。
  关键词:数学核心素养;运算能力;配方法;一元二次方程
  一、 数学史视角下的配方法
  (一)从中国数学史看配方法
  我国古代第一部数学著作《九章算术》中勾股章节的第二十题:“今有邑方不知大小,各中开门,出北门二十步有木,出南门十四步,折而西行一千七百七十五步见木,问邑方几何。”“答曰:二百五十步”其实就是解数字二次方程的问题,该二次方程是一个正系数的一次项在二次项后面,在中国古代把这样一次项称为“从法”,该题相当于通过求二次方程的正根而解决的,另外,在《九章算术》的少广章中也提出了开平方法,开平方法是专门为开整平方而建立的,所以比较难运用到求解一般的一元二次方程中,这些内容很好地体现了我国古代数学家卓越的理论创造能力,使得中国数学在理论和应用方面都取得了巨大的成就。
  以现在的数学来看,从二次方程到开平方法并没有对配方的过程进行详细的说明和解释,后来由于各种时代原因,明朝以后,我国数学水平低于以往朝代,许多数学家甚至看不懂先主发明的数学方法,其中就包括天元术和开平方法,试想,如果从一元二次方程到开平方法之间多一个对于“配方法”的详细说明,如果将一元二次方程和开平方法联系起来,就能更好的理解开平方法,也使得整个数学体系更有逻辑性和结构性。
  究其根本,我国的方程思想是由盈不足术发展而来的,方程术则使得演算进一步程序化,使得我国古代筹算制度水平得到很大提升,但是我国古代的方程多是提供了一种呈现方法,是将有关信息排成行列方阵的形式,进而通过加减相消等手段解决,也就是说,我国古代的方程实际上只是多元线性方程组,还不能算是现代意义上的方程。也有学者认为,中算的代数学理论体系与西方代数学体系差异很大,在概念和方法上没有很多共同之处。综上所述,中国数学史上并未真正提出配方法这个概念,而直到《几何原本》的译文传入中国才有了配方法这个词。
  (二)从国外数学史看配方法
  在符号和代数还没有出现的时代,人们一般是通过直观的几何图形来解决一元二次方程问题的,,据历史学家考察,人类历史上最早出现的一元二次方程是x2=A,这可以直接通过开平方法求解,其实这属于“已知正方形的面积,求边长的问题”,公元前两千年左右,在古巴比伦的泥板文书中就曾出现过一元二次方程及其解法,在古埃及的纸草文书中也有对二次方程的记载,方程出现后,解决了许许多多生活中的数学问题,四大文明古国对于方程及其解法的研究都有一定的成果,方程的分类以及方程的根的问题都引发了数学家们的好胜心,促使他们潜心研究,推动了方程的发展。
  配方法一词最早出现在古希腊的数学家欧几里得的著作《几何原本》中,其对配方法进行了几何意义上的定义,在几何学的观点下,配方ax2+bx=c其中x的二次方表示的是边长为x的正方形的面积,bx表示边长为b和x的矩形的面积,所以将配方法看成是对矩形的操作,也就是在一个几何图形中要将正方形x2和两个长方形bx合并成一个更大的正方形,那么这个正方形还会缺一个角,所以要把以上方程的两端都加上(b/x)2,这样正好是欠缺的角的面积,这就是“配方法”的名称的由来。《几何原本》中对于配方法的几何解释,很好地将几何的原理、方法都运用到代数学中,体现了数与形的美妙结合。
  公元300年左右,古希腊的丢番图在解一元二次方程时始终知去一个正根,公元628年,在古老的印度,婆罗摩笈多在其著作《婆罗摩修正体系》中给出了一元二次方程一个根的解法,虽然他意识到负根的存在,但却抛弃了负根和零根。
  直到820年,在阿拉伯数学家阿尔·花拉子密留下传世之作《代数学》中,他不仅求出一元二次方程的两个根,还给出了几何证明,这显然是受到欧几里得《几何原本》中配方法的影响,他在处理二次方程的时候极其有创意,出于正系数的考虑,把二次方程均划归为ax2=bx+c、ax2=bx、ax2=c等形式,不仅如此,他还通过具体案例进行示范,其中对配方法的使用尤为经典,花拉子密所举的每一个例子,都借用图形对方程配方的过程、步骤进行说明,直观形象,清晰明了,花拉子密所写的《代数学》本名为《AL-aJbrW-ALMuabalab》该书名翻译为整理和对比,整理一词表示把负项移到方程的另一边;对比一词则表示把方程两边的同类项消除;由此可见,这本书名中就已经蕴涵着配方法的步骤,而此后代数学逐渐发展起来,数学分析逐渐严格化和精细化。
  从方程发展过程来看,配方法仿佛是几何学和代数学之间的纽带,使几何和代数相互联系又有所区别,可以说配方法使得数学家们从几何的思想中得到解法,进而用代数的方法解决一元二次方程,解一元二次方程的基本方法中的公式法就是由配方法推导而成的,求根公式的出现极大地简化了一元二次方程求解问题,使得人类在方程的研究上又前进了一大步,配方法推动了代数学从文字叙述向符号代数的发展。
  (三)从数学教育史看配方法
  一元二次方程是数字教学的重要组成部分,它不仅综合了以前所学的多方面知识,同时为进一步的数学学习以及综合运用打下了基础,因此,在进行一元二次方程教学时,一方面要通过学习,巩固、加深对已学习的数与公式以及运算的认识,和对已学习过的一元一次方程及其解法的认识,同时要为今后学习二次函数、一元二次不等式、二次曲线等数学知识打好基础,发挥其承前启后的重要作用,一元二次方程的解法教学是本章节的教学重点,配方法是推导公式的一般工具,配方法的产生有利于人们对一元二次方程的理解,配方法除了推导一元二次方程的求根公式以外,在学习其他数学内容时也有广泛的应用。

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