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培养非逻辑思维能力发展数学核心素养

发布时间:2020-05-30 人气:

作者:张茂祥
  摘要:本文结合非逻辑思维中的直觉思维、形象思维、灵感思维及其综合运用,探讨发展数学核心素养的有效途径,对于提升初中数学教学有效性有一定的启发和指导意义。
  关键词:非逻辑思维;直觉思维;形象思维;灵感思维;数学核心素养
  在数学发展过程中,存在许多不受具体模式限制的不合逻辑的思维方式,这些非逻辑思维极大地促进了数学的发展。非逻辑思维是发展数学核心素养,创新数学理论的重要工具,同时也对学习和发展数感非常重要。因此,在数学教学中,我们应创造一切机会来培养学生的非逻辑思维能力,以发展其数学核心素养。接下来,我谈谈在教学中培养学生非逻辑思维能力,发展学生数学核心素养的一些实践和思考。
  一、 培养直觉思维,发展数学抽象核心素养
  直觉思维是一种没有完整的分析过程与逻辑程序的思维类型,它依靠灵感或洞察力快速理解并做出判断和结论。这种直觉给我们带来了解决问题的快速性和猜测性。当然直觉思维也是我们平时长期大量逻辑思维的积累。爱因斯坦曾指出真正有价值的思维是直觉思维,仅靠传统的逻辑思维很难甚至不可能发现新的东西。因此在平时的教学中,加强对直觉思维的训练,这对培养学生的创新思维和数学抽象核心素养是十分必要和重要的。
  【例1】(2019年福建省中考题)若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过
  解析:〖HTK〗本题参数多且没有图像,大多数同学看到后无从下手,若用常规方法求解费时费力,且做对的概率极小。若能直觉函数的结构特征,利用函数图像的直观性来求解,问题轻松就能解出来。由点A(m,n)、C(3-m,n)的对称性,可求函数的对称轴为直线x=3 2,再由|a|>0可知函数开口向上,这样就轻易地能画出函数的草图来(如图1),再由B(0,y1)、D 2y2)、E(2,y3)与对称轴的距离,根据图像的直观性能轻松地得出y1>y3>y2,从而轻易得到答案。
  评析:上述解题方法基于第一直觉。因为这是一个二次函数问题,立刻想到了“数形结合”的数学思想,根据题意画出了该题的图形,然后利用图形的直观特性,抽象出图形与数量之间的一般规律和结构,简化了解题的过程和方法,很容易解决问题,在这个过程中,培养和发展了学生的数学抽象核心素养。
  二、 培养形象思维,发展数学建模核心素养
  形象思维是运用图像,直观模型来研究问题,它不是以知识点和公式定理来进行思维,而是用直观形象来研究思维,这种形象直观的思维在数学学习中起着重要的作用。
  数学建模是数学核心素养的重要方面,它主要包括:从实际问题模型中的数学方面分析问题和构造问题、使用模型来解决和验证结论,从而解决实际问题。
  【例2】 如图2,已知直线l1:y=4 3x+4与y轴交与A点,将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2,求l2的函数解析式。
  解析:〖HTK〗本题许多学生拿到手后无从下手,若能扑捉题目中的关键信息和熟练应用数学基本模型,则该问题能轻而易举地解决。抓住45°这个条件,过点B作直线AB的垂线交l2于点C,再过点C作x轴的垂线(如图3),则构成了一个等腰直角三角形和数学中最常用的如图4所示的“一线三等角型”的数学模型,轻松求出了点C的坐标,问题就解决了。
  评析:上面解题是利用了“一线三等角型”的数学模型的特征,在实际问题中巧妙构建了该模型、再利用该模型求解,,从而解决实际问题。以上解题过程中,正是缘于直观图形的特征,我们将隐含条件进行了补充作了辅助线,抽象成数学基本模型,使问题变得具体,隐含变得清晰,使数学建模核心素养得到了培养和发展。
  三、 培养灵感思维,发展直观想象核心素养
  灵感是一种特殊的思维方式,通常它是指人们在认真思考某一个问题,且经过苦苦思索挖空心思仍无答案时,却因受某种特殊原因的启发,突然间出现出了解决问题的方法。在科学史上,可以找到很多科学家因灵感而发现新知识、新定理的故事。如相传最早发现勾股定理的畢达哥拉斯,灵感来源于方格地板;牛顿发现了万有引力定律,因为他被苹果击中了。在我们学习数学时,很多人都碰到过对一个数学问题长时间束手无策,但突然一个灵感,一条辅助线,一个模型,一个方法就使问题得到解决的经历。
  【例3】 (2018年福建省中考题)如图5,直线y=x+m与双曲线y=3 x相交于A,B两点,BC∥x轴,AC∥y轴,则△ABC面积的最小值为。
  解析:本题如果直接求解,需要利用参数设出A、B的坐标,联立直线与双曲线的解析式解方程组,再利用根与系数的关系及二次函数最值等知识才能求出来,要解烦琐的字母方程运算量大,费时费力做对的可能性较小。若能直观图形的特征,凭灵感问题瞬间获得解决,且计算量小省时省力。因为△ABC是等腰直角三角形,要其面积最小,只要斜边最小即可,根据双曲线的对称性我们知道只有当直线AB过原点时,AB最短,此时AB的解析式为直线y=x,这样轻松求到了A、B的坐标,从而快速求出了△ABC面积的最小值。
  评析:上述解题方法基于第一直觉和灵感,观察到图形的特征,直观地从图形中想象出特殊的结论,然后用数学知识进行验证,从而轻松解决问题,在这一过程中,直观想象的核心素养得到了发展。
  四、 多策略培养非逻辑思维,丰富和发展逻辑推理核心素养
  从上述例子中,我们不难看出,非逻辑思维相比逻辑思维具有思维跳跃性强,灵活多变,迅速得出结果的优势。因此,我们在平时教学中,应该给予足够的重视,并在潜移默化中培养其非逻辑思维能力,从而发展学生的数学学科核心素养。具体说来,应该从以下几点着手:
  1. 着重培养学生的思维跨度,倡导大步骤和跳跃思维。解题中要鼓励学生加强思维的跳跃性和跨越性,解题时要重实质轻形式,注重方法简单、实用和巧妙。
  2. 着重培养学生思维的联想跨度,培养学生敢于把我们平时易忽视的、习惯上认为毫无关系的问题联想起来,充分挖掘它们之间的联系,抽象出一般的结果和规律。
  3. 着重培养学生思维的转化跨度,鼓励学生敢于否定原有方法,敢于打破固定思维。学习中我们很容易形成思维定势,因此平时要鼓励学生敢于转换思路,多方面多角度转换思路和方法去探究。
  【例4】 (2019年福建省中考题)如图6,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是。(结果保留π)
  解析:本题若用常规方法求解,要添加大量的辅助线,证三角形全等和复杂的计算转换等才算得出来,费时费力且易算错。若能打破固定思路,大胆跳跃思维展开相关的联想,联想到我们非常熟悉的“赵爽弦图”,这时灵感就来了,只要如图7所示,延长DC、CB分别交圆于M、N两点,这时小正方形外围的四个图形面积就一样了,阴影部分的面积就等于大圆面积减去中间小正方形面积的差的四分之一,这样问题就轻松解决了。
  评析:以上求解直观地利用了图形的结构特征,打破陈规进行了联想大步骤地跳跃思维,将一个复杂的问题不费吹灰之力就解决了,在直观与联想跳跃思维的过程中,丰富和发展了逻辑推理核心素养。
  从以上的分析中,我们不难明白,非逻辑思维是发展数学核心素养,创新数学理论的重要工具,非逻辑思维能力的培养是学生综合素质和创新能力培养的必要和重要内容,同时非逻辑思维对于我们学习和发展数学也非常重要。因此,在平时的数学教学中,我们应足够重视这项工作,创造一切机会来培养学生的非逻辑思维能力,发展数学核心素养。
  参考文献:
  [1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011版)[S].北京:北京师范大学出版社,2012.
  [2]何克抗.创造性思维理论[M].北京:北京师范大学出版社,2000.
  [3]张路安,马晓丽.逻辑思维与非逻辑思维的关系研究[J].教育探索,2007(9).

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