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辅助线在初中几何解题中的应用与技巧

发布时间:2020-05-29 人气:

作者:刘亚萍
  摘要:初中几何数学問题更多的考查学生对数学图形的分析能力,老师在教学的过程中不能以教学生会解题为目的,要更加注重对学生分析图形能力的培养,在几何数学问题中运用辅助线的方法就是一种分析结合问题的过程,巧妙的建立一条正确的辅助线能够让几何问题的难度大大降低,帮助学生理清做题的逻辑思维,使初中几何数学问题更容易的解决。本文从辅助线添加原则、辅助线在主要题型中的应用对其解题技巧进行分析。
  关键词:初中数学;几何;辅助线
  一、 引言
  初中数学几何问题在教学中占据着十分重要的地位,但是许多学生对几何数学问题常抱着逃避心理,认为初中数学几何问题很难,一面对初中几何问题就会下意识地产生抵触心理。其实几何数学问题只是一只纸老虎,解决这类数学问题的关键就在于能否画出正确的辅助线,构建相应的辅助图形,找到问题的突破口,一旦对图形作出正确的辅助线便很容易将几何数学问题解决。
  二、 辅助线的添加原则和注意事项
  为几何图形添加辅助线的方法有成百上千种,但能够产生作用的辅助线只有几条,在初中数学几何图形中对辅助线的作图与运用也有一定技巧,学生需要通过加强对集合数学问题的训练,不断加强对解决几何数学问题的规律、方法和技巧的掌握。
  (一)分析题目隐含条件信息
  在解答初中几何数学题目的过程中,几乎每道题目中都蕴含着隐含条件,并且,这样的隐含条件也将成为顺利解题的关键。在初中几何数学问题中所给出的数学条件与需证明的结论之间的逻辑关系往往不会很明确,一般需要通过添加辅助线的方式来构建链接条件与结论之间的“桥梁”,为几何图形问题提供解题思路。做辅助线不能像无头苍蝇一般想怎样就怎样做图,如何做出更有价值的辅助线要依靠学生对题目的分析理解能力,,老师在教学过程中要不断培养学生对题目隐含信息的敏感度。如题:“如图所示,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。”在这道题中,题目所给条件没有一个是关于边的信息,如何构建辅助线将角关系转化成边关系,关键在于分析几何问题题目,找到隐含信息。利用题中角平分线信息通过构造全等三角形的方法找到BC与AB、CD的关系,在线段上找到一点E,使BF=AB,只需证明CF=DC即可,即证明△ECF≌△ECD,由于AB∥CD,则∠A+∠D=180°,∠A=∠BFE,∠BFE+∠EFC=180°,因此∠D=∠EFC,即可证明CF=DC。
  (二)充分发挥特殊点、线的作用
  在初中几何数学题中的特殊点及线的位置往往是解决几何问题的突破口,在解题时学生要注意对线段中点、角的平分线、三角形的中线以及高等的把握,对特殊点和线段的性质要熟练掌握与运用。在解决几何问题时先从特殊点位置对图形刻画辅助线入手,不仅有利于学生面对复杂图形问题能建立起逻辑关系,进行条理化分析,达到化繁为简的目的,通过这样的解题方式能够有效的解决以往学生在解答习题时解题难、没有解题思路的问题,进一步减少学生对初中几何数学问题的畏难心理,同时,有利于培养学生的分析问题、总结规律的能力,有利于加深学生对初中数学几何知识的理解与认识。
  三、 辅助线在初中数学几何问题中的应用分析
  辅助线在初中数学几何问题中按类型可以划分为延长型、平移型、分隔型辅助线等,在不同类型的几何问题中辅助线的运用也大不相同,本文针对如何在三角形、四边形以及圆形几何问题中运用辅助线进行了分析。
  (一)辅助线在三角形中的运用
  通过近几年对初中数学几何问题的教学,笔者总结出了一些针对三角几何问题的经验:第一点,当题目中提供角平分线的信息时,可以向角平分线的两边做垂线,找到全等或相似三角形,让题目的隐含条件和信息显示出来。第二点,当题目中所给信息为一个角平分线和一条平行线时,可以得到两个全等的等腰三角形,此时对角平分线做垂线、辅助线或对等腰三角形做三线合一的辅助线往往能找到问题的突破口。第三点,当三角形中出现线段垂直平分线时,可以尝试将线段两端相连找到角与线段的关系,当题目让求证一条线段长度等于另外两条线段长度之和时,可以采用延长或缩短线段长度的办法。第四点,当题目要求证线段和差不相等的问题时,同学们可以朝着在三角形中两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的方向进行思考和论证,并尽量将三个线段放进一个三角形中进行论证。比如,以第四点为例进行分析,“如图所示,已知:D、E为三角形ABC的两个内点,求证:AB+AC>BD+DE+CE”通过阅读题目可以发现,该题属于求证三角形线段和差不相等类问题,因此我们可以作辅助线连接DC,使四边形BDEC转化成两个三角形BDC和三角形DEC,通过定理:在三角形中两边之和小于第三边,可以得到隐含信息:DE+EC<DC,BD+DC<BC,因此AB+AC>BD+DE+CE得证。
  (二)辅助线在四边形中的应用
  对于现实生活中出现的任何问题我们都可以找到或创造出对应的解题模型,对于初中数学平行四边形几何问题的解决也是如此,用心解题就能总结出相应的解题方法和技巧:第一点,当题目中出现平行四边形时,可以从找到平行四边形旋转对称中心入手解决问题,其旋转对称中心就是平行四边形的对角线等分点,方便找到隐含的线段相等信息。第二点,当题目中出现梯形几何问题时,要注重对图形转换技巧的把握,可以通过作梯形腰的平行线的方法,将题型转化为平行四边形和三角形,进一步分析角和线段之间的关系。第三点,如果题目中提供的图形是腰上的中点时,可以尝试连接两中线构建平行于图形上底或下底的辅助线。第四点,充分利用图形比例式子代换,利用等积等式进行等量代换。比如,以第一点为例进行分析,“如图所示,AD为三角形ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且AE=EF,求证:BF=AC”,可以通过平行四边形对角线互相平分的性质构造平行四边形ABGC,将求证BF=AC转化成求证同一三角形内BF=BG,构造出两个等腰相似三角形(三角形AEF与三角形BFG)。

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